Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)．點(diǎn)M為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接AM，將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ME，連接EC．

（1）如圖1，若點(diǎn)M在線段BD上．

① 依據(jù)題意補(bǔ)全圖1；

② 求∠MCE的度數(shù)．

（2）如圖2，若點(diǎn)M在線段CD上，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形后，直接用等式表示線段AC、CE、CM之間的數(shù)量關(guān)系 ．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②∠MCE=∠F=45°；（2）

【解析】

（1） ① 依據(jù)題意補(bǔ)全圖即可；② 過點(diǎn)M作BC邊的垂線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F ，利用同角的余角相等，得到∠FMA= ∠CME，再通過等腰三角形的判定得到FM=MC，再通過判斷，得到∠MCE的度數(shù).

（2）通過證明，得到 AF=EC，將轉(zhuǎn)化為，再在Rt△FMC中，利用邊角關(guān)系求出FC=，即可得到.

（1） ① 補(bǔ)全圖1：

② 解：過點(diǎn)M作BC邊的垂線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

∵FM⊥BC

∴ ∠FMC =90°

∴ ∠FMA+∠AMC=90°

∵將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ME

∴∠AME=90° ，AM=ME

∴ ∠CME+∠AMC=90°

∴∠FMA= ∠CME

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠FCM=45°

∴∠F=∠FCM=45°

∴FM=MC

在△FMA和△CME中

∴

∴ ∠MCE=∠F=45°

（2）解：過點(diǎn)M作BC邊的垂線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

∵FM⊥BC

∴ ∠FMC =90°

∴ ∠FME+∠EMC=90°

∵將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ME

∴∠AME=90° ，AM=ME

∴∠FME +∠AMF=90°

∴∠EMC = ∠AMF

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠FCM=45°

∴∠MFC=90°-∠FCM=45°

∴FM=MC

在△FMA和△CME中

∴

∴ AF=EC

∴

∵∠FCM=45°，∠FMC=90°

∴FC=

∴

綜上所述，