題目列表(包括答案和解析)
19.★(本小題滿分10分)已知數(shù)列{an}、{bn}都是無窮等差數(shù)列,其中a1=3,b1=2,b2是a2與a3的等差中項(xiàng),且.求極限的值.
分析 首先需求出an、bn的表達(dá)式,以確定所求極限的表達(dá)式,為此,關(guān)鍵在于求出兩個(gè)數(shù)列的公差,“b2是a2與a3的等差中項(xiàng)”已給出一個(gè)等量關(guān)系,“an與bn之比的極限為”又給出了另一個(gè)等量關(guān)系,故可考慮先設(shè)出公差用二元方程組求解.
解 設(shè){an}、{bn}的公差分別為d1、d2,
∵2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),
∴2d2-3d1=2.① 2分
又
即d2=2d1,② 4分
聯(lián)立①②解得d1=2,d2=4.
∴an=a1+(n-1)d1=3+(n-1)·2=2n+1,
bn=b1+(n-1)d2=2+(n-1)·4=4n-2. 6分
10分
18.(本小題滿分10分)已知數(shù)列{an}、{bn},其中an=1+3+5+…+(2n+1),bn=2n+4(n≥5),試問是否存在這樣的自然數(shù)n,使得an≤bn成立?
分析 對(duì)n賦值后,比較幾對(duì)an與bn的大小,可作出合理猜測(cè),再用數(shù)學(xué)歸納法予以證明.
解 an=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2,
當(dāng)n=5時(shí),a5=36,b5=25+4=36,此時(shí)a5=b5;
當(dāng)n=6時(shí), a6=49,b6=26+4=68,此時(shí)a6<b6;
當(dāng)n=7時(shí),a7=64,b7=27+4=132,此時(shí)a7<b7;
當(dāng)n=8時(shí),a8=81,b8=28+4=260,此時(shí)a8<b8.
猜想:當(dāng)n≥6時(shí),有an<bn. 3分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想.
①當(dāng)n=6時(shí),顯然不等式成立,∴n=6時(shí),不等式an<bn成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥6)時(shí),不等式成立,即ak<bk,也即(k+1)2<2k+4;當(dāng)n=k+1時(shí),bk+1=2k+1+4=2(2k+4)-4>2(k+1)2-4=2k2+4k-2,
而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-6>0(∵k≥6,∴k2>6),
即2k2+4k-2>(k+2)2=[(k+1)+1]2.
由不等式的傳遞性,知bk+1>[(k+1)+1]2=ak+1.
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立. 8分
由①②可知,對(duì)一切n∈N,且n≥6,都有an<bn.
綜上所述,可知只有當(dāng)n=5時(shí),an=bn;當(dāng)n≥6時(shí),an<bn.因此存在使an≤bn成立的自然數(shù)n.
10分
17.(本小題滿分8分)某校有教職工150人,為了豐富教工的課余生活,每天定時(shí)開放健身房和娛樂室.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì),每次去健身房的人有10%下次去娛樂室,則在娛樂室的人有20%下次去健身房.請(qǐng)問,隨著時(shí)間的推移,去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定?
分析 本題考查用數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)及數(shù)列的極限.
解 設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為an,去娛樂室的人數(shù)為bn,則an+bn=150, 2分
∴an=an-1+bn-1=an-1+(150-an-1)=an-1+30,
即an=an-1+30. 4分
∴an-100=(an-1-100).于是an-100=(a1-100)·()n-1,即an=100+()n-1·(a1-100). 6分
∴an=100.故隨著時(shí)間的推移,去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右. 8分
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