Question

【題目】已知△ABC，點D、F分別為線段AC、AB上兩點，連接BD、CF交于點E．

（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，若BE=4，CE=2，求CD：BF；

（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如圖2所示，猜想∠BEC與∠A的數量關系；并說明理由．

（3）在（2）的條件下，若∠A=60°，試說明：BC=BF+CD．

Answer 1

【答案】（1）1:2（2）∠BEC=90°+∠A（3）證明見解析

【解析】

（1）根據∠BEF=∠CED，∠BFE=∠CDE=90°可證明△BEF∽△CED，根據相似三角形的性質即可得答案；（2）根據角平分線的性質得到∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，根據三角形內角和定理即可得到結論；（3）在BC上截取BM=BF，連接EM，根據SAS可證明△BEF≌△BEM，可得∠BEF=∠BEM，由（2）可得∠BEC=120°，即可證∠∠BEF=∠BEM=∠CEM=∠CED=60°，即可證明△CEM≌△CED，進而可得CD=CM，即可證明BC=BF+CD.

（1）∵∠BEF=∠CED，∠BFE=∠CDE=90°，

∴△BEF∽△CED，

∴

∵BE=4，CE=2，

∴CD：BF=1：2.

（2）∠BEC =90°+∠A；理由如下：

∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠BEC=180°-(∠ABC+∠ACB)，

∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠BEC=180°-（180°-∠A）=90°+∠A.

（3）如圖：在BC上截取BM=BF，連接EM，

∵∠A=60°，

∴由（2）可知∠BEC=90°+∠A=120°，

∴∠BEF=60°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠FBE=∠EBM，

∵BF=BM，∠FBE=∠EBM，BE=BE，

∴△BEF≌△BEM（SAS），

∴∠BEM=∠BEF=60°，

∴∠CEM=60°，

∴∠CED=∠CEN=60°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠DCE=∠MCE，

∵∠CED=∠CEN=60°，CE=CE，∠DCE=∠MCE，

∴△CEM≌△CED（ASA），

∴CD=CM，

∴BC=BM+CM=BF+CD.