Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC邊OA，OC分別在x軸，y的正半軸上，且OA＝8，OC＝6，連接AC，點D為AC中點，點E從點C出發(fā)以每秒1個單位長度運動到點O停止，設運動時間為t秒（0＜t＜6），連接DE，作DF⊥DE交OA于點F，連接EF．

（1）當t的值為　 　時，四邊形DEOF是矩形；

（2）用含t的代數式表示線段OF的長度，并說明理由；

（3）當△OEF面積為時，請直接寫出直線DE的解析式．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）+t；（3）y＝﹣x+4或y＝﹣x+．

【解析】

（1）根據DE⊥OC得到DE∥OA，由線段的中點的定義得到CD=AD，從而可得到結論；
（2）如圖所示：作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，推出四邊形DMON是矩形，求得DM=OC=3，DN=OA=4，根據相似三角形的性質得到FM=EN，于是得到結論；
（3）由OA=8，OC=6，得到A（8，0），C（0，6），求得D（4，3），根據三角形的面積列方程得到t=2或，從而可得到直線DE的解析式．

（1）根據平行線的判定定理得到DE∥OA，由線段的中點的定義得到CD＝AD，于是得到結論，

（2）如圖所示：作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，推出四邊形DMON是矩形，求得DM＝OC＝3，DN＝OA＝4，根據相似三角形的性質得到FM＝EN，于是得到結論；

（3）由OA＝8，OC＝6，得到A（8，0），C（0，6），求得D（4，3），根據三角形的面積列方程得到t＝2或，于是得到結論．

【解答】

解：（1）當DE⊥OC時，四邊形DEOF是矩形；

∵DE⊥OC，

∴DE∥OA，

∵點D為AC中點，

∴CD＝AD，

∴CE＝OE＝OC＝3，

∴t＝3，

∴當t的值為3s時，四邊形DEOF是矩形，

故答案為：3；

（2）如圖所示：作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，

∵四邊形OABC是矩形，

∴OA⊥OC，

∴四邊形DMON是矩形，

∴∠MDN＝90°，DM∥OC，DN∥OA，

∴＝，＝，

∵點D為OB的中點，

∴M、N分別是OA、AB的中點，

∴DM＝OC＝3，DN＝OA＝4，

∵∠EDF＝90°，

∴∠FDM＝∠EDN，

又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，

∴△DMF∽△DNE，

∴＝＝，

∴FM＝EN，

∵CN＝OC＝3，CE＝t，

∴EN＝3﹣t，

∴FM＝EN＝﹣t，

∴OF＝4﹣FM＝+t；

（3）∵OA＝8，OC＝6，

∴A（8，0），C（0，6），

∵點D為AC中點，

∴D（4，3），

∵CE＝t，

∴OE＝6﹣t，

∵OF＝+t，

∴△OEF面積＝OEOF＝（6﹣t）（+t）＝，

解得：t＝2或，

當t＝2時，點E（0，4），

∴直線DE的解析式為y＝﹣x+4；

當t＝時，點E（0，），

∴直線DE的解析式為y＝﹣x+，

綜上所述，直線DE的解析式為y＝﹣x+4或y＝﹣x+．