Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．

（1）請你按下面步驟畫圖；
第一步，過點A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點D；
第二步，過點D作AC的垂線，交AC的延長線點E．
第三步，連接BD．
（2）求證：AD²=AE•AB；
（3）連接EO，交AD于點F，若5AC=3AB，求的值．

Answer 1

（1）如圖；

（2）先根據圓周角定理可得∠ADB=90°，再結合DE⊥AC，AD平分∠CAB，即可證得Rt△ADE∽Rt△ABD，根據相似三角形的性質即可得到結論；（3）

試題分析：（1）根據角平分線與垂線的畫法即可作出圖形；
（2）先根據圓周角定理可得∠ADB=90°，再結合DE⊥AC，AD平分∠CAB，即可證得Rt△ADE∽Rt△ABD，根據相似三角形的性質即可得到結論；
（3）連OD、BC，它們交于點G，由5AC=3AB，可設AC=3x，AB=5x，根據圓周角定理可得∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB，可的弧DC=弧DB，即可得到OD∥AE，OG=AC=，從而證得四邊形ECGD為矩形，可的CE=DG=OD-OG=x-x =x，則AE=AC+CE=3x+x=4x，根據AE∥OD，可得△AEF∽△DOF，根據相似三角形的性質即可求得結果.
（1）如圖；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴AD：AB=AE：AD，
∴AD²=AE•AB；
（3）連OD、BC，它們交于點G，如圖，

∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，
∴不妨設AC=3x，AB=5x，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠CAD=∠DAB，
∴弧DC=弧DB，
∴OD垂直平分BC，
∴OD∥AE，OG=AC=，
∴四邊形ECGD為矩形，
∴CE=DG=OD-OG=x-x =x，
∴AE=AC+CE=3x+x=4x，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△DOF，
∴AE：OD=EF：OF，
∴EF：OF=4x：x=8：5，
∴．
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握直徑所對的圓周角是直角；相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母在對應位置上.