Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x+m交x軸于點(diǎn)A，二次函數(shù)y=ax2﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，與直線l交于點(diǎn)D，已知CD與x軸平行，且S△ACD：S△ABD=3：5．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求此二次函數(shù)的解析式；

（3）點(diǎn)P為直線l上一動點(diǎn)，將線段AC繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α°＜360°）得到線段A'C'（點(diǎn)A，A'是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C，C'是對應(yīng)點(diǎn)）．請問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A'和點(diǎn)C'分別落在直線l和拋物線y=ax2﹣3ax+c的圖象上？若存在，請直接寫出點(diǎn)A'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) A（﹣1，0）;(2) y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2;(3)見解析.

【解析】

（1）由題意可得C（0，c），且CD∥x軸，可得D（3，c），根據(jù)面積比可得AB=5．由對稱性可得點(diǎn)A（-2m，0）到對稱軸的距離2倍是5，可求m，即可求A點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）由直線l過D點(diǎn)可求D（3，2），由A，B關(guān)于對稱軸對稱可求B（4，0），則可用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式．

（3）由點(diǎn)A是直線l上一點(diǎn)，繞直線l上點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，且落在直線l上，因此可得點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合，或點(diǎn)A繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到A'．設(shè)C'（a，-a2+a+2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求A'點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）

∵二次函數(shù)y=ax2﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)

∴C（0，c，），對稱軸是直線x==.

∵CD∥x軸.

∴C，D關(guān)于對稱軸直線x=對稱.

∴D（3，c）.

∵S△ACD：S△ABD=3：5．且△ACD和△ABD是等高的.

∴.

∴AB=5.

∵直線y=x+m與x軸交于A點(diǎn)，

∴A（﹣2m，0）.

∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于對稱軸x=對稱.

∴2×[﹣（﹣2m）]=5.

∴m=.

∴A（﹣1，0），且AB=5.

∴B（4，0）.

（2）設(shè)拋物線解析式y=a（x+1）（x﹣4）.

∵m=.

∴直線AD解析式y=x+.

∵D（3，c）在直線AD上.

∴c=+=2.

∴D（3，2）且在拋物線上.

∴2=a（3+1）（3﹣4）.

∴a=﹣.

∴拋物線解析式y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2.

（3）∵點(diǎn)A在直線l上，旋轉(zhuǎn)后A'點(diǎn)落在直線l上，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合，或者點(diǎn)A繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°.

當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合時，A'（﹣1，0）.

當(dāng)點(diǎn)A繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到A'，點(diǎn)C繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到C'

∴AP=A'P，CP=CP'.

如圖2:

設(shè)C'（a，﹣a2+a+2）.

∵C（ 0，2），CP=CP'.

∴P（a，﹣a2+a+2）.

∵點(diǎn)P在直線l上，

∴﹣a2+a+2=a+.

即 a2﹣2a﹣6=0.

解得：a1=1+，a2=1﹣.

當(dāng)a1=1+時，y=×（1+）+=.

∴P（，）.

∵AP=A'P.

∴A'（2+，）.

當(dāng)a2=1﹣時，y=×（1﹣）+=.

∴P（，）.

∵AP=AP'.

∴A'（2﹣，）.

綜上所述A'（2﹣，），（2+，），（﹣1，0）.