Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，且，△OBE的面積為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)P為已知拋物線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACP的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q（0，m）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接AQ、BQ，當(dāng)∠AQB為鈍角時(shí)，則m的取值范圍是　 　．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）且

【解析】

（1）首先根據(jù)拋物線解析式找到拋物線的對(duì)稱軸，然后根據(jù)平行線分線段成比例得出HG＝HO＝1，OB＝2，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)△OBE的面積及平行線分線段成比例得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）首先根據(jù)拋物線的解析式求出A,C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后設(shè)，則，利用ACP的面積等于ACB的面積建立一個(gè)關(guān)于m的方程，解方程求解即可；

（3）先利用勾股定理求出當(dāng)時(shí)m的值，以及排除當(dāng)A,Q,B三點(diǎn)共線時(shí)的m的值，即可得出當(dāng)∠AQB為鈍角時(shí)m的取值范圍．

解：（1）作DG⊥x軸于G，對(duì)稱軸交x軸于H，如圖，

∵拋物線為，

∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，則OH＝1．

∴OF∥EH∥DG，

∴GH：HO：OB＝DE：EF：FB＝1：1：2，

∴HG＝HO＝1，OB＝2，

∴B（2，0）．

∵△OBE的面積為，

∴×2×EH＝，解得EH＝．

∵OF∥EH∥DG，

∴＝＝，則DG＝×＝3，

∴D（﹣2，3）．

把B（2，0），D（﹣2，3）代入y＝ax2+2ax+c中，得

解得

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣x+3 ；

（2）令 ，則，

令，則，解得．

，

．

設(shè)直線AC的解析式為 ，

將代入解析式中得

解得

∴直線AC的解析式為y＝x+3．

過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，

設(shè)，則，

，

即 ，

當(dāng)時(shí)，

解得 ，

當(dāng)時(shí)，

此時(shí) 與重合，故舍去；

當(dāng)時(shí)，

此時(shí) ．

當(dāng)時(shí)，

化簡(jiǎn)得，

此時(shí) ，

∴該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（3）由（2）知， ，

又∵ ，

．

當(dāng) 時(shí)，

，

即，

解得 ．

當(dāng)時(shí)，A,B,Q三點(diǎn)共線，不符合題意，

∴ ，

∴∠AQB為鈍角時(shí)，則m的取值范圍是且．