Question

【題目】已知，點(diǎn)為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線分別交軸正半軸，軸于點(diǎn)，.

（1）判斷頂點(diǎn)是否在直線上，并說(shuō)明理由.

（2）如圖1，若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且，根據(jù)圖象，寫(xiě)出的取值范圍.

（3）如圖2，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在內(nèi)，若點(diǎn)，都在二次函數(shù)圖象上，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)在直線上，理由見(jiàn)解析；（2）的取值范圍為或.（3）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，.

【解析】（1）寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線進(jìn)行判斷即可.

（2）直線與軸交于點(diǎn)為，求出點(diǎn)坐標(biāo)，把在拋物線上，代入求得，求出二次函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合即可求出時(shí)，的取值范圍.

（3）直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，而直線表達(dá)式為，聯(lián)立方程組，得.點(diǎn)，.分三種情況進(jìn)行討論.

【解答】

（1）∵點(diǎn)坐標(biāo)是，

∴把代入，得，

∴點(diǎn)在直線上.

（2）如圖1，∵直線與軸交于點(diǎn)為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為.

又∵在拋物線上，

∴，解得，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，

∴當(dāng)時(shí)，得，，∴.

觀察圖象可得，當(dāng)時(shí)，

的取值范圍為或.

（3）如圖2，∵直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

而直線表達(dá)式為，

解方程組，得.∴點(diǎn)，.

∵點(diǎn)在內(nèi)，

∴.

當(dāng)點(diǎn)，關(guān)于拋物線對(duì)稱軸（直線）對(duì)稱時(shí)，

，∴.

且二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在直線上，

綜上：①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，；

③當(dāng)時(shí)，.