Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標分別是A（0，2）和C（2 ，0），點D是對角線AC上一動點（不與A，C重合），連結BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．

（1）填空：點B的坐標為；
（2）是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；
（3）①求證： = ；
②設AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關于x的函數關系式（可利用①的結論），并求出y的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）（2 ，2）
（2）

解：存在．理由如下：

連接BE，取BE的中點K，連接DK、KC．

∵∠BDE=∠BCE=90°，

∴KD=KB=KE=KC，

∴B、D、E、C四點共圓，

∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，

∵tan∠ACO= = ，

∴∠ACO=30°，∠ACB=60°

①如圖1中，△DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC，

∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，

∴∠DBC=∠BCD=60°，

∴△DBC是等邊三角形，

∴DC=BC=2，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，

∴AC=2AO=4，

∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．

∴當AD=2時，△DEC是等腰三角形．

②如圖2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，

∴∠ABD=∠ADB=75°，

∴AB=AD=2 ，

綜上所述，滿足條件的AD的值為2或2

（3）

解：①由（2）可知，B、D、E、C四點共圓，

∴∠DBC=∠DCE=30°，

∴tan∠DBE= ，

∴ = ．

②如圖2中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，

∴DH= AD= x，AH= = x，

∴BH=2 ﹣ x，

在Rt△BDH中，BD= = ，

∴DE= BD= ，

∴矩形BDEF的面積為y= [ ]2= （x2﹣6x+12），

即y= x2﹣2 x+4 ，

∴y= （x﹣3）2+ ，

∵ ＞0，

∴x=3時，y有最小值 ．

【解析】解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，
∴BC=OA=2，OC=AB=2 ，∠BCO=∠BAO=90°，
∴B（2 ，2）．
所以答案是（2 ，2）．
【考點精析】本題主要考查了矩形的性質的相關知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．