Question

【題目】對于一個關(guān)于x的代數(shù)式A，若存在一個系數(shù)為正數(shù)關(guān)于x的單項(xiàng)式F，使的結(jié)果是所有系數(shù)均為整數(shù)的整式，則稱單項(xiàng)式F為代數(shù)式A的“整系單項(xiàng)式”．例如：

當(dāng)A=，F=2x3時，由于=1，故2x3是的整系單項(xiàng)式；

當(dāng)A=，F=6x5時，由于，故6x5是的整系單項(xiàng)式；

當(dāng)A=3-，F=時，由于=2x-1，故是3-的整系單項(xiàng)式；

當(dāng)A=3-，F=8x4時，由于，故8x4是3-的整系單項(xiàng)式；

顯然，當(dāng)代數(shù)式A存在整系單項(xiàng)式F時，F有無數(shù)個，現(xiàn)把次數(shù)最低，系數(shù)最小的整系單項(xiàng)式F記為F（A）．例如：，

閱讀以上材料并解決下列問題：

（1）判斷：當(dāng)A=時，F=2x3______A的整系單項(xiàng)式（填“是”或“不是”）

（2）解方程：

（3）已知a、b、c是△ABC的邊長，其中a、b滿足（a-5）2+=0，且關(guān)于x的方程||=c有且只有3個不相等的實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）x=；（3）26或27；

【解析】

（1）當(dāng)A=時，F=2x3時，=x；

（2）令F=axn，結(jié)合定義進(jìn)行判斷，即可求出F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，將所求方程轉(zhuǎn)化為-1=即可求解；

（3）根據(jù)平方與二次根式的性質(zhì)可求a=5，b=9，再求出F（）=x2，將所求式子轉(zhuǎn)化為可以化為||=c，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解；

解：（1）當(dāng)A=時，F=2x3時，=x，

∴是2x3的整系單項(xiàng)式；

（2）F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，

∴可以化為-1=，

∴2x2-3x+1=0，

∴x=1或x=；

經(jīng)檢驗(yàn)x=1是方程的增根，

∴原方程的解為x=；

（3）∵（a-5）2+=0，

∴a=5，b=9，

F（）=x2，

∴||=c可以化為||=c，

∴|（x-3）++6|=c，

當(dāng)x=6時，c=12，

∴當(dāng)x≥6時，c≥12，此時方程有且只有3個不相等的實(shí)數(shù)根，

∵c＜14，

∴c=12或c=13，

∴△ABC的周長為26或27；