Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°．探究并解決下列問(wèn)題：

（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且AC＝1+，PA＝，求線段PC的長(zhǎng)．

（2）如圖2，若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，猜想PA2、PB2、PC2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的值為　 ．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）AP2+BP2＝PQ2．理由見(jiàn)解析；（3）或．

【解析】

（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)PA的長(zhǎng)，可求得PB的長(zhǎng)；過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，從而可求得CD、PD的長(zhǎng)，然后在Rt三角形CDP中依據(jù)勾股定理可求得PC的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP-BD）=（PD-DC），可證明AP2+BP2=2PC2，因?yàn)樵?/span>Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論；

（3）根據(jù)點(diǎn)P所在的位置畫(huà)出圖形，然后依據(jù)題目中的比值關(guān)系求得PD的長(zhǎng)（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的長(zhǎng)度即可．

解：（1）如圖①所示：

∵△ABC是等腰直直角三角形，AC＝，

∴AB＝ ，

∵PA＝，

∴PB＝AB﹣PA＝，

∵△ABC和△PCQ均為等腰直角三角形，

∴AC＝BC，PC＝CQ，∠ACB＝∠PCQ，

∴∠ACP＝∠BCQ，

在△APC和△BQC中，，

∴△APC≌△BQC（SAS）．

∴BQ＝AP＝，∠CBQ＝∠A＝45°．

∴△PBQ為直角三角形．

∴PQ＝．

∴PC＝PQ＝2．

故答案為：2；

（2）AP2+BP2＝PQ2．理由如下：

如圖②：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD＝AD＝DB．

∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DCPD+PD2，

PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，

∴AP2+BP2＝2PC2．

∵△CPQ為等腰直角三角形，

∴2PC2＝PQ2．

∴AP2+BP2＝PQ2．

（3）如圖③：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．

①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P1處時(shí)．

，

．

．

在Rt△CP1D中，由勾股定理得： ，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：，

．

②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P2處時(shí)．

，

∴P2A＝AB＝DC．

在Rt△CP2D中，由勾股定理得：，

在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，

．

綜上所述，的比值為或；

故答案為：或．