Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P和點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，則稱點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于x軸，直線l的二次對稱點(diǎn)．

（1）如圖1，點(diǎn)A(0，-1)．

①若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于x軸，直線：x=2的二次對稱點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；

②點(diǎn)C (-4，1)是點(diǎn)A關(guān)于x軸，直線：x=a的二次對稱點(diǎn)，則a的值為 ；

③點(diǎn)D(-1，0)是點(diǎn)A關(guān)于x軸，直線的二次對稱點(diǎn)，則直線的表達(dá)式為 ；

（2）如圖2，O的半徑為2．若O上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于x軸，直線：x = b的二次對稱點(diǎn)，且點(diǎn)M′在射線（x≥0）上，b的取值范圍是 ；

（3）E(0，t)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，E的半徑為2，若E上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)N′是點(diǎn)N關(guān)于x軸，直線：的二次對稱點(diǎn)，且點(diǎn)N′在x軸上，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①(4，1)，②-2，③y =- x；（2）b的取值范圍是-1≤b≤；（3）-4≤t≤4

【解析】

（1）①根據(jù)題目中二次對稱點(diǎn)的定義，可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②根據(jù)題目中二次對稱點(diǎn)的定義，可以求得a的值；

③根據(jù)題目中二次對稱點(diǎn)的定義，可以求得直線l3的表達(dá)式；

（2）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，利用分類討論的方法即可解答本題；

（3）根據(jù)題意和對稱的二次對稱點(diǎn)的定義，根據(jù)題目中的圖形，可以求得t的取值范圍，本題得以解決．

解：（1）① 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （4，1）

② a的值為-2

③直線l3的表達(dá)式為y =- x

（2）如圖2，

設(shè)O與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），（2，0），

與射線 (x≥0)的交點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為（1，）．

關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為．

當(dāng)點(diǎn)M在的位置時(shí)，b=-1，

當(dāng)點(diǎn)M在的位置時(shí)，b=1，

當(dāng)點(diǎn)M在的位置時(shí)，b=1，

當(dāng)點(diǎn)M在劣弧上時(shí)（如圖3），-1≤b≤1，

當(dāng)點(diǎn)M在劣弧上時(shí)（如圖4），b的值比1大，當(dāng)?shù)搅踊?/span>的中點(diǎn)時(shí)，達(dá)到最大值（如圖5），最大值為．綜上，b的取值范圍是-1≤b≤．

（3）∵x軸和直線關(guān)于直線對稱，

直線和直線關(guān)于x軸對稱，

∴E只要與直線和有交點(diǎn)即可．

∴t 的取值范圍是：-4≤t≤4

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