Question

如圖，在△ABC中AB的垂直平分線DE與AC相交于點E，與AB相交于點D，∠AED=30°，AG平分∠BAC交DE于點G，AD=4cm，連接BE，下列說法中不正確的是

1. A.
   DG=2cm
2. B.
   BE=8cm
3. C.
   AE=BE
4. D.
   AG=FG

Answer 1

A
分析：根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AE=8cm，根據直角三角形兩銳角互余求出∠DAE=60°，再根據角平分線的定義求出∠EAG=30°，然后求出∠EAG=∠AEG，根據等角對等邊可得AG=EG，設DG=x，先表示出DE，再表示出AG=GE，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式計算即可得解．
解答：∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，故C選項錯誤；
∵∠AED=30°，AD=4cm，
∴AE=2AD=2×4=8cm，
∴BE=8cm，故B選項錯誤；
又∵∠DAE=90°-∠AED=90°-30°=60°，AG平分∠BAC，
∴∠EAG=∠DAE=×60°=30°，
∴∠EAG=∠AEG，
∴AG=EG，故D選項錯誤；
設DG=x，
在Rt△ADE中，DE===4cm，
∴AG=GE=4-x，
在Rt△ADG中，AD²+DG²=AG²，
即4²+x²=（4-x）²，
解得x=，
即DG=cm，故A選項正確．
故選A．
點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，直角三角形兩銳角互余，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理的應用，綜合題，但難度不大．