【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,DBC的中點,AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點E、F、G.

(1)F到△ABC的邊_______的距離相等,點F到△ABC的頂點______的距離相等.

(2)BC=6,AD=9,求AF的值.

(3)連接CGAD于點H,當(dāng)∠BAC是多少度時,△FGH為等腰三角形?

【答案】1AC,AB;AB、C;(25;(345°36°.

【解析】

1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì),AD平分∠BACAD垂直平分BC,FAD上,根據(jù)角平分線性質(zhì)解答;EF垂直平分AC,所以F為兩邊垂直平分線的交點.根據(jù)垂直平分線性質(zhì)解答.

2)連接FC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AF=CF,設(shè)AF=x,CF=x,DF=9-x,CD=BC=3,故利用RtFCD得到方程進(jìn)行求解;

3)根據(jù)△FGH為等腰三角形分三種情況分別討論,根據(jù)垂直平分線與三角形的內(nèi)角和即可求解.

1)∵ABAC,DBC的中點,

AD平分∠BACAD垂直平分BC

∵點FAD上,

∴點FAC、AB的距離相等;

EF垂直平分AC,AD垂直平分BC

FAFBFC,即點FA、B、C的距離相等.

故答案為 ACAB; AB、C

2)連接FC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AF=CF,

設(shè)AF=x,CF=x,DF=9-x,CD=BC=3,

RtFCD中,

解得x=5,

AF=5

3)①當(dāng)FG=HG時,故∠GFH=∠GHF,

∠GFH=∠EFA,∠EFA+∠EAF=90°

同理∠CHD+∠HCD=90°

∠EAF =∠HCD,

AD垂直平分BC,

∠EAF =∠BAD,

∠HCD=∠BAD

ADBC,∠B=B

∴CG⊥AB,

EG垂直平分AC,

AG=CG

∠BAC=45°,

②當(dāng)FH=HG時,故∠HFG=∠HGF,

∠GFH=∠EFA,∠EFA+∠EAF=90°,

∠HGF+∠ECG=90°

∠EAF=∠ECG

EG垂直平分AC,∴∠ECG=∠EAG

∴此情況不存在;

③當(dāng)FH=FG時,故∠FHG=∠FGH

∠FHG =∠CHD,∠CHD+∠HCD=90°

∠HGF+∠ECG=90°

∠EAF=∠ECG

∠ECG =∠HCD,

AD垂直平分BC,

∠ECG =∠BAC

設(shè)∠BAC=a,故∠ACG=∠HCD=a,ACB=2a,

AB=AC,ABC=ACB=2a

∠BAC+ABC+ACB=5a=180°,

解得x=36°,

綜上:∠BAC45°36°時,△FGH為等腰三角形.

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