Question

【題目】 如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點(diǎn)E，F分別在邊AB，BC上，將△ABC沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)D處，且CD=3．

（1）求CF的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)G是射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DG，GC，BD，△DGC的面積與△DGB的面積相等，

①當(dāng)點(diǎn)G在線段BA上時(shí)，求BG的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)G在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BG=______；

（3）將直線EF平移，平移后的直線與直線BC，直線AC分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，以線段MN為一邊作正方形MNPQ，點(diǎn)P與點(diǎn)B在直線MN兩側(cè)，連接PD，當(dāng)PD∥BC時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠QBC的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ； ②3；（3）

【解析】

（1）如圖1中，連接DF，在Rt△DCF中，利用勾股定理，構(gòu)建方程即可解決問題．

（2）①如圖2-1中，當(dāng)DG∥BC時(shí)，S△DGC=S△DGB．設(shè)BG=x．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．

②如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明AB=2AG時(shí)，滿足條件．

（3）如圖3中，當(dāng)PD∥BC時(shí)，作QK⊥BC于K．利用全等三角形以及相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．

解：（1）如圖1中，連接DF

∵將△ABC沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)D處

∴DF=BF

在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF2，

∴（6-CF）2=9+CF2，

∴CF=．

（2）①如圖2-1中，當(dāng)DG∥BC時(shí)，S△DGC=S△DGB．設(shè)BG=x．

在Rt△ACB中，AC=4，BC=6，

∴AB==2，

∵DG∥BC，

∴=，

∴=，

∴x=．

②如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵CD=3AD，

∴S△GDC=3S△QAD，

∴當(dāng)S△ADB=2S△ADG時(shí)，S△GDC=S△GBD，

∴AB=2AG，

∴AG=，

∴GB=3，

故答案為：3．

（3）如圖3中，當(dāng)PD∥BC時(shí)，作QK⊥BC于K．

∵四邊形MNPQ是正方形，

∴易證△PDN≌△NCM≌△MKA，

∴KQ=CM=DN，KM=CN=PD，∠DPN=∠CNM

∵∠CBD＋∠NMC=90°

∵∠CNM＋∠NMC=90°

∴∠CNM=∠CBD

∴∠DPN=∠CBD

∴△PDN∽△BCD，

∴=，

∴=，

∴PD=2DN，

∴CN=2DN，

∴DN=1，CN=2，

∴KQ=DN=CM=1，KM=CN=2，

∴BK=9，

∴tan∠QBC==．