Question

【題目】如圖，Rt△ABC內接于⊙O，∠BCA＝90°，∠CBA＝60°，AB＝10，點D是AB邊上（異于點A，B）的一動點，DE⊥AB交⊙O于點E，交AC于點G，交切線CF于點F．

（1）求證：FC＝CG；

（2）①當AE＝　 　時，四辺形BOEC為菱形；

②當AD＝　 　時，OG∥CF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①5，②

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)切線的性質得到∠OCF＝90°，證明△FCG為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質證明結論；

（2）①根據(jù)菱形的性質得到CE＝CB，得到△AOE為等邊三角形，得到答案；

②根據(jù)平行線的性質得到∠GOC＝∠OCF＝90°，根據(jù)等邊三角形的性質計算即可．

（1）證明：如圖1，連接OC，

∵CF是⊙O的切線，

∴∠OCF＝90°，

∵∠BCA＝90°，∠CBA＝60°，

∴∠BAC＝30°，又DE⊥AB，

∴∠AGD＝60°，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠BAC＝30°，

∴∠FCG＝60°，又∠FGC＝∠AGD＝60°，

∴△FCG為等邊三角形，

∴FC＝CG；

（2）解：①如圖2，四邊形BOEC為菱形時，CE＝CB，

∴

∴∠EAC＝∠BAC＝30°，又OE＝OA，

∴△AOE為等邊三角形，

∴AE＝AO＝5，

故答案為：5；

②如圖1，∵∠CBA＝60°，OC＝OB，

∴△BOC為等邊三角形，

∴∠BOC＝60°，

∵OG∥CF，

∴∠GOC＝∠OCF＝90°，

∴∠AOG＝30°，

∴GA＝GO，又GD⊥AO，

∴AD＝AO＝，

故答案為：．