Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m（1＜m＜4），連接AC，BC，DB，DC．

（1）求拋物線的解析式.

（2）當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的時(shí)，求m的值.

（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＝3；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）．

【解析】

（1）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可得拋物線兩點(diǎn)式解析式，進(jìn)而可求出a值，即可得答案；（2）設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，根據(jù)拋物線的解析式可得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)D（m，），過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC與點(diǎn)H，可得點(diǎn)H（m，），根據(jù)三角形面積公式列方程求出m的值即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得拋物線的軸對(duì)稱(chēng)與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，根據(jù)二次函數(shù)解析式可得對(duì)稱(chēng)軸方程，把對(duì)稱(chēng)軸方程代入BC解析式即可求出Q點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可得答案.

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），

∴拋物線解析式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，

∴﹣8a＝6，

解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：；

（2）設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C（0，6），

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，

解得：，

∴直線BC的表達(dá)式為：，

如圖1，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC與點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)D（m，），則點(diǎn)H（m，）

S△BDC＝HD×OB＝2（）＝2（），

S△ACO＝××6×2＝，

∴2（﹣m2+3m）＝，

解得：m＝3或m=1（舍去），

∴m＝3；

（3）如圖2，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小，連接BC，

∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴QA=QB，

∴QA+QC=QC+QB，

∴BC為QA+QC的最小值，即△QAC的周長(zhǎng)最小.

∴拋物線的軸對(duì)稱(chēng)與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，

∵拋物線的軸對(duì)稱(chēng)為x＝1，

∴把x＝1代入直線BC的表達(dá)式得，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）．