Question

如圖，在扇形中，半徑長，;以為直徑作半圓，點(diǎn)是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與半圓交于點(diǎn)，⊥于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連結(jié).
 
（1）求證：；
（2）設(shè), ，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
（3）若點(diǎn)落在線段上，當(dāng)∽時(shí)，求線段的長度.

Answer 1

（1）連結(jié)AD，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得AD=AB，再根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝90°，即AC⊥BD，即可證得結(jié)論；（2）y＝，0≤x≤10；（3）

試題分析：（1）連結(jié)AD，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得AD=AB，再根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝90°，即AC⊥BD，即可證得結(jié)論；
（2）在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理可表示出DG的長，再證得Rt△AFG∽R(shí)t△DBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)G落在線段OB上，且△FOG∽△ABC時(shí)，由Rt△AFG∽R(shí)t△ABC，可證得Rt△FOG∽R(shí)t△AFG，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.
（1）連結(jié)AD

∵點(diǎn)D、B在弧BE上
∴AD=AB
∵點(diǎn)C在半圓O上，AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BD，
∴DC＝BC；
（2）∵AD=AB=10，AG=x，
∴BG=10-x，
∵DG⊥AB于點(diǎn)G，
∴在Rt△ADG中，DG²=AD²-AG²=100-x²，
∴DG=
∵∠CAB+∠B＝∠D+∠B＝90°，
∴∠FAG＝∠D，
∴Rt△AFG∽R(shí)t△DBG，
∴FG/AG=BG/DG，
∴FG/x="(10-x)/" ，
∴FG="x(10-x)/"
則y＝FG²=.
其中x的取值范圍為0≤x≤10；
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)G落在線段OB上，且△FOG∽△ABC時(shí)，
∵Rt△AFG∽R(shí)t△ABC，
∴Rt△FOG∽R(shí)t△AFG，
∴FG²=AG·OG=x（x-5），
∴=x（x-5），解得：x=
經(jīng)檢驗(yàn)可知：AG=.
綜上所述，當(dāng)△FOG∽△ABC時(shí)，AG＝.
點(diǎn)評(píng)：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.