Question

【題目】（問題探究）課堂上老師提出了這樣的問題：“如圖①，在中，，點是邊上的一點，，求的長”．某同學做了如下的思考：如圖②，過點作，交的延長線于點，進而求解，請回答下列問題：

（1）___________度；

（2）求的長．

（拓展應用）如圖③，在四邊形中，，對角線相交于點，且，，則的長為_____________．

Answer 1

【答案】【問題探究】（1）；（2）．【拓展應用】．

【解析】

問題探究：

（1）由平行線的性質得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出結果；
（2）由平行線的性質得出∠E=∠BAD=72°，證出AC=AE，由平行線證明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；
拓展應用：過點D作DF∥AB交AC于點F．證明△BAE∽△DFE，得出 =2，得出AB=2DF，EF=AE=1，AF=AE+EF=3，證出AC=AD，在Rt△ADF中，求出DF=AF×tan∠CAD=，得出AC=AD=2DF=2，AB=2DF=2，得出AC=AB，在Rt△ABC中，求出BC= AB=2 即可．

解：（1）∵CE∥AB，
∴∠ACE+∠BAC=180°，
∴∠ACE=180°-108°=72°；
故答案為：72；
（2）∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=72°，
∴∠E=∠ACE，
∴AC=AE，
∵CE∥AB，
∴△ABD∽△ECD，
∴ ，
∵BD=2CD，
∴=2，
∴AD=2ED=4，
∴ED=2，
∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；

拓展應用：
解：如圖3中，過點D作DF∥AB交AC于點F．
∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，
∴∠DFA=∠BAC=90°，
∵∠AEB=∠DEF，
∴△BAE∽△DFE，
∴=2，
∴AB=2DF，EF=AE=1，AF=AE+EF=3，
∵∠BAD=120°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°=∠ADC，
∴AC=AD，
在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，
∴DF=AF×tan∠CAD3× ，
∴AC=AD=2DF=2，AB=2DF=2，
∴AC=AB，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，
∴BC=AB=2；
故答案為：2．