Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣2的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E．

（1）求拋物線(xiàn)解析式；

（2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，當(dāng)OD=4PE時(shí)，求四邊形POBE的面積；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線(xiàn)解析式為y=x2﹣x﹣2；(2);(3) 當(dāng)N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，﹣）或（5+，），以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

【解析】試題分析：（1）由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，A（﹣2，0）在拋物線(xiàn)上，于是列方程即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)函數(shù)解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式，設(shè)D（m，0），得到E（m，），P（m，），根據(jù)已知條件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D，P，E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)M（n，），①以BD為對(duì)角線(xiàn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN垂直平分BD，求得n的值，于是得到N的坐標(biāo)；②以BD為邊，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，過(guò)M作MH⊥x軸于H，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，A（﹣2，0）在拋物線(xiàn)上，

∴，解得：，

∴拋物線(xiàn)解析式為；

（2）令=0，解得：x1=﹣2，x2=4，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，

∴B（4，0），C（0，﹣2），設(shè)BC的解析式為y=kx+b，則：，解得：，

∴ ，

設(shè)D（m，0），∵DP∥y軸，

∴E（m，），P（m，），

∵OD=4PE，

∴m=4（﹣）

∴m=5，m=0（舍去），

∴D（5，0），P（5，），E（5，），

∴四邊形POBE的面積=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣×1×=；

（3）存在，設(shè)M（n，），

①以BD為對(duì)角線(xiàn)，如圖1，

∵四邊形BNDM是菱形，

∴MN垂直平分BD，

∴n=4+=，

∴M（，），

∵M，N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

∴N（，﹣）；

②以BD為邊，如圖2，

∵四邊形BNDM是菱形，

∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，

過(guò)M作MH⊥x軸于H，

∴MH2+DH2=DM2，即，

∴n1=4（不合題意），n2=5.6，

∴N（4.6，），同理，

∴n1=（不合題意，舍去），n2=，

∴N（，）；

③以BD為邊，如圖3，過(guò)M作MH⊥x軸于H，

∴MH2+BH2=BM2，即，

∴n1=，n2=（不合題意，舍去），

∴N（，）．

綜上所述，當(dāng)N（，﹣）或（4.6，）或（，）或（，），以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．