Question

【題目】如圖，已知二次函數(b，c為常數)的圖象經過點A(3，1)，點C(0，4)，頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交該二次函數圖象于點B，連結BC．

（1）求該二次函數的解析式及點M的坐標；

（2）若將該二次函數圖象向下平移個單位，使平移后得到的二次函數圖象的頂點與△ABC的外心重合，求的取值；

（3）點P是坐標平面內的一點，使得△ACB與△MCP，且CM的對應邊為AC，請寫出所有點P的坐標(直接寫出結果，不必寫解答過程)．

Answer 1

【答案】（1），M（1，5）；（2）3；（3）（，4）或（，）

【解析】

（1），則，拋物線表達式為：，將點的坐標代入上式并解得：，即可求解；

（2）直線的中點坐標為：，，則線段的中垂線的函數表達式為：，當時，，即外心坐標為，即可求解；

（3）分、兩種情況，分別求解．

解：（1），則，拋物線表達式為：，

將點的坐標代入上式并解得：，

故拋物線的表達式為：，

則點；

（2）點函數的對稱軸為：，則點，點，

直線的中點坐標為：，，

則線段的中垂線的函數表達式為：，

當時，，即外心坐標為，

則二次函數圖象向下平移了個單位，

∴m的取值為3；

（3）與相似，且的對應邊為，存在或，

點、、、的坐標分別為：、、、，

則，，，，

①當時，如圖，

則，即，

解得：，，

設點，

則，，

解得：，，

故點，；

②當時，如上圖右側圖，

則點在直線上，直線的表達式為：，

同理可得：，

設點，則，

解得：（不合題意的值已舍去），

故點，；

綜上，點的坐標為：，或，．