Question

已知：如圖，△ABC中，O是AC邊上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：EO=FO；
（2）寫出當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形；
（3）當點O運動到問題（2）中的位置時，證明四邊形AECF是矩形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線定義得出∠2=∠3，∠4=∠5，根據(jù)平行線性質得出∠1=∠3，∠6=∠5，推出∠1=∠2，∠6=∠4，推出EO=OC，F(xiàn)O=OC，即可得出答案；
（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形；
（3）根據(jù)平行四邊形判定推出四邊形是平行四邊形，求出∠ECF=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵CE是∠ACB的角平分線，CF是∠ACQ的角平分線，
∴∠2=∠3，∠4=∠5，
∵NM∥BC，
∴∠1=∠3，∠6=∠5，
∴∠1=∠2，∠6=∠4，
∴EO=OC，F(xiàn)O=OC，
∴EO=FO；
（2）解：如圖2，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，

（3）證明：如圖2，AO=OC，EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠2=∠3，∠4=∠5，∠2+∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠3+∠4=90°，
即∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，角平分線定義，平行線的性質等知識點的綜合運用．