Question

【題目】如圖①，在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使點D在邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上．

（1）證明小明所作的四邊形DEFG是菱形；

（2）小明進一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個數(shù)隨著點D的位置變化而變化……請你繼續(xù)探索，直接寫出菱形的個數(shù)及對應的CD的長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）菱形的個數(shù)為2，.

【解析】

（1）根據(jù)鄰邊相等的四邊形是菱形證明即可．

（2）求出幾種特殊位置的CD的值判斷即可．

解：（1）證明：∵，

∴.

又，

∴四邊形是平行四邊形.

又，

∴是菱形.

（2）如圖1中，當四邊形DEFG是正方形時，設正方形的邊長為x．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝，

則CD＝x，AD＝x，

∵AD＋CD＝AC，

∴x+x=3，

∴x＝，

∴CD＝x=，

觀察圖象可知：0≤CD＜時，菱形的個數(shù)為0．

如圖2中，當四邊形DAEG是菱形時，設菱形的邊長為m．

∵DG∥AB，

∴，，

∴，

解得m＝，

∴CD＝3，

如圖3中，當四邊形DEBG是菱形時，設菱形的邊長為n．

∵DG∥AB，

∴，

∴，

∴n＝，

∴CG＝4，

∴CD＝，

觀察圖象可知：

當或時，菱形的個數(shù)為0；

當或時，菱形的個數(shù)為1；

當時，菱形的個數(shù)為2.