Question

【題目】已知：AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，連接AD，OC．

（1）如圖1，求證：AD∥OC；

（2）如圖2，過點C作CE⊥AB于點E，求證：AD＝2OE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在OC上，且OF＝BE，連接DF并延長交⊙O于點G，過點G作CH⊥AD于點H，連接CH，若∠CFG＝135°，CE＝3，求CH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1（見解析），先根據圓心角定理得出，從而可得，再根據圓周角定理可得，從而可得，然后根據平行線的判定即可得證；

（2）如圖2（見解析），先根據圓周角定理得出，再根據題（1）的結論、直角三角形的性質得出，然后根據圓周角定理、圓心角定理可得，最后根據垂徑定理、中位線定理得出，由此即可得證；

（3）如圖3（見解析），先根據圓周角定理、平行線的性質得出，再根據垂徑定理可得，然后根據三角形全等的判定定理與性質得出，從而可得，在中，利用勾股定理可得，又根據直角三角形的性質、矩形的性質、圓的相交弦定理得出，，從而可得，最后利用勾股定理即可得．

（1）如圖1，連接OD

∵

∴

由圓周角定理得：

∴

∴；

（2）如圖2，延長CO交圓O于F，延長CE交圓O于G，連接FG，BD

則

∵于E

∴，

∴

∵，

∴

∴

∵，

OE是的中位線

∴

∴，即；

（3）如圖3，延長CO交圓O于P，連接BD交OC于N，作PM⊥AD于M，連接BC、BF，則

∵

∴

∴

∵于E

∴

∵，

∴

∴

∴

∵

∴

∴，

設，則

在中，，即，解得

∴

∵

∴

∵

∴

∴

設CP交HG于R

∵

∴

∴

∴，，

又∵，即

解得

∴

在中，．