Question

【題目】在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O；在Rt△PMN中，∠MPN90°．

（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點(diǎn)E、F，請(qǐng)直接寫(xiě)出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中的Rt△PMN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°<α<45°）．

①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠DOM15°時(shí)，連接EF，若正方形的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)；

③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若Rt△PMN的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD3BP時(shí)，猜想此時(shí)PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BDm·BP時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）PE=PF；（2）①成立，理由參見(jiàn)解析；②；③PE=2PF，理由見(jiàn)解析；PE=（m-1）·PF．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可；
（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△FOA≌△EOD，得到答案；
②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求值即可；
③過(guò)點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)解答結(jié)果總結(jié)規(guī)律得到當(dāng)BD=mBP時(shí)，PE與PF的數(shù)量關(guān)系．

解：（1）PE=PF，理由：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB，
∴PE=PF；
（2）①成立，理由：
∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，
∴∠DOE+∠AOE=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠FOA+∠AOE=90°，
∴∠FOA=∠DOE，
在△FOA和△EOD中， ，
∴△FOA≌△EOD，
∴OE=OF，即PE=PF；

②作OG⊥AB于G，
∵∠DOM=15°，
∴∠AOF=15°，則∠FOG=30°，
∵cos∠FOG=，
∴OF=，

又OE=OF，
∴EF= ；
③PE=2PF，

如圖3，過(guò)點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，

則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°，
∴HP=BP，
∵BD=3BP，
∴PD=2BP，
∴PD=2HP，
又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，
∴∠HPF=∠DPE，
又∵∠BHP=∠EDP=45°，
∴△PHF∽△PDE，
∴，
即PE=2PF，
由此規(guī)律可知，當(dāng)BD=mBP時(shí)，PE=（m-1）PF．