Question

【題目】數(shù)學(xué)課上，老師出示了如下的題目：如圖（1），在等邊△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，試判斷AE和BD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結(jié)論

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖（2），確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：AE DB（填“>”，“<”或“=”）；

（2）特例啟發(fā)，解答題目

如圖（1），試判斷AE和BD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC；若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，請(qǐng)畫(huà)出圖形，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）詳見(jiàn)解析；（3）1或3.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，根據(jù)等腰三角形的判定定理BD=BE，根據(jù)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)解答；

（2作EF∥BC交AC于F．證明△DBE≌△EFC，推出BD=EF=AE，推出BD=AE，即可得到結(jié)論；

（3）分兩種情形討論，當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，作EF∥AC交BD的延長(zhǎng)線于F，易證△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD﹣BC=2﹣1=1；當(dāng)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，作EF∥BC交AC的延長(zhǎng)線于F，易證△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．由此即可解決問(wèn)題．

∵△ABC是等邊三角形，AE=EB，∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°．

∵ED=EC，∴∠D=∠ECD=30°．

∵∠EBC=∠D+∠BED，∴∠D=∠BED=30°，∴BD=BE=AE．

故答案為：=；

（2）結(jié)論：AE=BD．

理由如下：如圖（2），作EF∥BC交AC于F．

∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B=60°，∠ECD=∠CEF，∴∠D=∠CEF．

∵∠AEF=∠B=60°，∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∠AFE=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°．

∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF．

∵ED=EC，∴∠D=∠ECD．

在△DBE和△FEC中，∵，∴△DBE≌△EFC（AAS），∴BD=EF，∴BD=AE．

（3）如圖（4）中，當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，作EF∥AC交BD的延長(zhǎng)線于F，則△EBD≌△EFC（AAS），∴BD=CF=AE=2，CD=BD﹣BC=2﹣1=1．

如圖（5）中，當(dāng)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，作EF∥BC交AC的延長(zhǎng)線于F，則△EBD≌△CFE（AAS），∴BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．

綜上所述：CD的長(zhǎng)為1或3．

故答案為：1或3．