Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：AB=AC；

（2）求證：DE是⊙O的切線；

（3）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，則DE=________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）連接AD，由直徑所對的圓周角度數及中點可證AD是BC的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質可得結論；

（2）連接OD，由中位線的性質可得OD∥AC，由平行的性質與切線的判定可證；

（3）易知是等邊三角形，由等邊三角形的性質可得CB長及度數，利用直角三角形30度角的性質及勾股定理可得結果.

（1）連接AD．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

又∵DC=BD，

AD是BC的垂直平分線

∴AB=AC．

（2）連接OD．

∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°．

∵O為AB中點，D為BC中點，

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠CED=90°．

∴DE是⊙O的切線．

（3）由（1）得

是等邊三角形

在中，

根據勾股定理得