Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，AD=1，AB=2．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB、CD交于點G、F，AE與FG交于點O．當△AED的外接圓與BC相切于BC的中點N．則折痕FG的長為______．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：設(shè)AE與FG的交點為O． 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AO=EO．

取AD的中點M，連接MO． 則MO=DE，MO∥DC．

設(shè)DE=x，則MO=x， 在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

所以AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心． 延長MO交BC于點N，則ON∥CD．

所以∠CNM=180°-∠C=90°． 所以ON⊥BC，四邊形MNCD是矩形．

所以MN=CD=AB=2．所以ON=MN-MO=2-x．

因為△AED的外接圓與BC相切， 所以ON是△AED的外接圓的半徑．

所以OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．

根據(jù)Rt△AED的勾股定理可得：x= 所以DE=，OE=2-x=．

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AE⊥FG． 所以∠FOE=∠D=90°．可得FO=．

又AB∥CD，所以∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO． 所以△FEO≌△GAO．所以FO=GO．

所以FG=2FO= 所以折痕FG的長是．