Question

【題目】如圖，中，，，點在直線上，是等腰直角三角形，，，連接．

（1）當點在線段上時，如圖1，求證：；

（2）當點在線段延長線上時，如圖2，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）利用△ABC是等腰直角三角形，易得AB＝AC，∠BAC＝90°，即有∠BAD＋∠DAC＝90°，同理可得AD＝AE，∠DAC＋∠CAE＝90°，從而可證∠BAD＝∠CAE，從而利用SAS可證△BAD≌△CAE，那么BD＝CE，于是BC＝CE＋DC，再利用勾股定理可知BC＝

AC，進而可證DC＋CE＝AC；

（2）同（1）可證△BAD≌△CAE，那么BD＝CE，而BC＋BD＝CD，易證AC＝CDCE．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝90°，即∠BAD＋∠DAC＝90°，

同理有AD＝AE，∠DAC＋∠CAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝CE＋DC，

在Rt△ABC中，BC＝AC，

∴DC＋CE＝AC；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝90°，即∠BAE＋∠EAC＝90°，

同理有AD＝AE，∠DAB＋∠BAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，

又∵BC＋BD＝CD，

∴BC＝CDCE，即AC＝CDCE；