Question

漢口江灘有一個大型的圓形底面的噴水池，水池正中央裝有一根高米的水管，水管頂端裝有一個噴水頭，已知噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為3米處達到最高高度為米，
（1）請建立適當的平面直角坐標系，使水管頂端的坐標為（0，），水柱的最高點的坐標為（3，），求此坐標系中拋物線對應的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）．
（2）如圖，在水池底面上有一些同心圓軌道，每條軌道上安裝了噴水龍頭，相鄰軌道之間的寬度為l米，最內軌道的半徑為r米，其上每1.2米的弧長上裝有一個噴水龍頭，其他軌道上的噴水龍頭個數與最內軌道上的個數相同．（1）中水柱落地處剛好在最外軌道上，求當r為多少時，水池中安裝的噴水龍頭的個數最多？

Answer 1

解：（1）如圖，依題意建立平面直角坐標系，
∵點（1，3）為拋物形水柱的頂點，
∴設拋物線解析式為y=a（x-3）²+，將點（0，）代入，得
=a（0-3）²+，
解得a=-，
因此，拋物形水柱對應的函數關系式為：y=-（x-3）²+；

（2）當y=0時，-（x-3）²+=0，
解得x₁=-，x₂=，
根據實際，x=-舍去，
所以，x=，即水柱落地點離池中心m，
設池中安裝水龍頭m個，依題意得
m=•，即m=π（6.5r-r²）=-π（r-）²+π，
所以當r=時，池中安裝的水龍頭的個數最多．
分析：（1）根據題意確定拋物線的頂點坐標為（3，），設拋物線解析式為y=a（x-3）²+，根據水柱高為米，將點（0，）代入拋物線解析式求a即可；
（2）根據（1）中求出的拋物線解析式求水柱落地點離池中心的距離，根據池中安裝水龍頭的個數m=內圈裝水龍頭的個數×圈數，列出函數關系式，根據二次函數的性質求最大值．
點評：本題考查了二次函數的運用．關鍵是根據題意設拋物線解析式，根據條件求拋物線解析式，再列出池中安裝水龍頭個數的函數關系式．