Question

【題目】請閱讀下述材料：

下述形式的繁分數叫做有限連分數，其中n是自然數，a0是整數，a1，a2，a3，…，an是正整數：

其中稱為部分商。

按照以下方式可將任何一個分數轉化為連分數的形式：，則；考慮的倒數，有，從而；再考慮的倒數，有，于是得到a的連分數展開式，它有4個部分商：3，1，3，3；

可利用連分數來求二元一次不定方程的特殊解，以為例，首先將寫成連分數的形式，如上所示；其次，數部分商的個數，本例是偶數個部分商（奇數情況請見下例）；最后計算倒數第二個漸近分數，從而是一個特解。

考慮不定方程，先將寫成連分數的形式：。

注意到此連分數有奇數個部分商，將之改寫為偶數個部分商的形式：

計算倒數第二個漸近分數：，所以是的一個特解。

對于分式，有類似的連分式的概念，利用將分數展開為連分數的方法，可以將分式展開為連分式。例如的連分式展開式如下，它有3個部分商： ；

再例如，，它有4個部分商：1，。

請閱讀上述材料，利用所講述的方法，解決下述兩個問題

（1）找出兩個關于x的多項式p和q，使得。

（2）找出兩個關于x的多項式u和v，使得。

Answer 1

【答案】（1）p＝x，q＝x+1；（2）u＝x+1，v＝x2+2x.

【解析】

（1）根據題意可以將題目中的式子分式展開為連分式；然后按要求求出計算倒數第二個漸進分式，即可得到所求關于x的多項式p和q；

（2）根據題意可以將題目中的式子分式展開為連分式；然后按要求求出計算倒數第二個漸進分式即可兩個關于x的多項式u和v．．

解：（1） ，

計算倒數第二個漸進分數： ，

∴p＝x，q＝x+1，

（2） ，

計算倒數第二個漸進分數： ，

∴u＝x+1，v＝x2+2x.