Question

【題目】如圖，點A、B、C、D是⊙O上的四個點，AD是⊙O的直徑，過點C的切線與AB的延長線垂直于點E，連接AC、BD相交于點F．

（1）求證：AC平分∠BAD；

（2）若⊙O的半徑為，AC＝6，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，先證明OC∥AE，從而得∠OCA＝∠EAC，再利用OA＝OC得∠OAC＝∠OCA，等量代換即可證得答案；

（2）設OC交BD于點G，連接DC，先證明△ACD∽△AEC，從而利用相似三角形的性質解得，再利用＝cos∠FDC，代入相關線段的長可求得DF．

（1）證明：如圖，連接OC

∵過點C的切線與AB的延長線垂直于點E，

∴OC⊥CE，CE⊥AE

∴OC∥AE

∴∠OCA＝∠EAC

∵OA＝OC

∴∠OAC＝∠OCA

∴∠OAC＝∠EAC，即AC平分∠BAD；

（2）如圖，設OC交BD于點G，連接DC

∵AD為直徑

∴∠ACD＝90°，∠ABD＝90°

∵CE⊥AE

∴DB∥CE

∵OC⊥CE

∴OC⊥BD

∴DG＝BG

∵∠OAC＝∠EAC，∠ACD＝90°＝∠E

∴△ACD∽△AEC

∴

∵⊙O的半徑為，AC＝6

∴AD＝7，

∴

∴

易得四邊形BECG為矩形

∴DG＝BG＝

∵＝cos∠FDC

∴

解得：

∴DF的長為.