Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，O為AD中點(diǎn)，P是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，以O為圓心，OP為半徑作⊙O分別交BO及BO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)H．

（1）當(dāng)OP＝2時(shí)，求BH的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)AH交⊙O于另一點(diǎn)G時(shí)，連接FG，DF，作DM⊥BF于點(diǎn)M，求證：△EFG∽△FDM．

（3）連結(jié)HO，當(dāng)△EHO是直角三角形時(shí)，求OP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）BH＝6；（2）見(jiàn)解析；（3）OP的值為或．

【解析】

(1) 在Rt△ABO中，利用勾股定理求出OB，由BH∥OA可證，由此可求出BH；

（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°和垂線的定義可證明∠DMF＝∠EGF＝90°，證明△AOE≌△DOF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得∠EAO＝∠ODF，由此可得AH∥DF，根據(jù)兩直線平行同位角相等可證∠GEF＝∠DFM，由此可證；

（3）分∠HEO＝90°和∠EOH＝90°兩種情形畫(huà)出圖形分別求解.

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，AD∥BC，

∵AB＝3，AO＝OD＝4，

∴OB5，

∵OP＝OE＝2，

∴BE＝3，

∵BH∥OA，

∴，

∴，

∴BH＝6．

（2）如圖2中，

∵EF是直徑，

∴∠EGF＝90°，

∵DM⊥BF，

∴∠DMF＝∠EGF＝90°,

∵OA＝OD，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，

∴△AOE≌△DOF（SAS），

∴∠EAO＝∠ODF，

∴AH∥DF，

∴∠GEF＝∠DFM，

∴△EFG∽△FDM．

（3）如圖3﹣1中，當(dāng)∠HEO＝90°時(shí)，

∵ABAOOBAE，

∴AE，

∴OE，

∴OP＝OE．

如圖3﹣2中，當(dāng)∠EOH＝90°時(shí)，

∵BC∥AD，

∴∠BOA＝∠OBH，

∵∠BAO＝∠BOH＝90°，

∴△ABO∽△OHB，

∴，

∴，∴BH，

∵OA∥BH，

∴，

∴OE=,

∴OEOB，

∴OP＝OE，

綜上所述，OP的值為或．