Question

【題目】如圖，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE與AC交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，伴隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，矩形PEFG在射線AB上滑動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)K從點(diǎn)P出發(fā)沿折線PE﹣﹣EF以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、K同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)K到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、K運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，KE= ， EN=；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APM的面積與△MNE的面積相等？
（3）當(dāng)點(diǎn)K到達(dá)點(diǎn)N時(shí)，求出t的值；

Answer 1

【答案】
（1）1；
（2）解：由（1）并結(jié)合題意可得，

AP=t，PM= t，ME=2﹣ t，NE= ﹣t，

∴ t× t= （2﹣ t）×（ ﹣t），

解得，t= ；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)K到達(dá)點(diǎn)N時(shí)，則PE+NE=AP，

由（2）得， ﹣t+2=t，

解得，t= ；（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PKB是直角三角形？

解：①當(dāng)K在PE邊上任意一點(diǎn)時(shí)△PKB是直角三角形，

即，0＜t≤2；

②當(dāng)點(diǎn)k在EF上時(shí)，

則KE=t﹣2，BP=8﹣t，

∵△BPK∽△PKE，

∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，

∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），

解得t=3，t=4；

③當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)K在BC邊上，∠KBP=90°．

綜上，當(dāng)0＜t≤2或t=3或t=4或5時(shí)，△PKB是直角三角形．

【解析】解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，根據(jù)題意得，AP=1，PK=1， ∵PE=2，
∴KE=2﹣1=1，
∵四邊形ABCD和PEFG都是矩形，
∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，
∴ = ， = ，
∴MP= ，ME= ，
∴NE= ；
故答案為：1； ；
（1）利用△APM∽△ABC求出PM，然后求出ME，再利用△APM∽△NEM，就可以求出EN．（2）△APM的面積與△MNE的面積相等，且兩個(gè)三角形相似，所以，只有兩三角形全等面積就相等，表示出三角形的面積，從而求出t值．（3）（1）已經(jīng)求出EN的值，根據(jù)EN+PE=AP的值，解出t即可．（4）是直角三角形有兩種情況，K在PE邊上任意一點(diǎn)時(shí)△PKB是直角三角形，在FE上的一點(diǎn)時(shí)也是直角三角形．利用三角形相似求出t的值．