Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線在第三象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也在不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則k的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣3

【解析】試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出OA=OB，連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相似比，求出面積比，求出△OFC的面積，即可得出答案．∵雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴OA=OB， 連接OC，如圖所示， ∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，

∴OC⊥AB．∠BAC=60°， ∴tan∠OAC==， ∴OC=OA，

過點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，

∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF， ∴△OFC∽△AEO，相似比， ∴面積比，

∵點(diǎn)A在第一象限，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b）， ∵點(diǎn)A在雙曲線上， ∴S△AEO=ab=，

∴S△OFC=FCOF=， ∴設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y）， ∵點(diǎn)C在雙曲線上， ∴k=xy，

∵點(diǎn)C在第四象限， ∴FC=x，OF=﹣y． ∴FCOF=x（﹣y）=﹣xy=﹣