Question

【題目】如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝4，P為線段AB上一動點．將△BPC沿PC翻折至△EPC，延長CE交射線AD于點D

（1）如圖1，當P為AB的中點時，求出AD的長

（2）如圖2，延長PE交AD于點F，連接CF，求證：∠PCF＝45°

（3）如圖3，∠MON＝45°，在∠MON內部有一點Q，且OQ＝8，過點Q作OQ的垂線GH分別交OM、ON于G、H兩點．設QG＝x，QH＝y，直接寫出y關于x的函數解析式

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)如圖1.根據平行線的性質得到∠A=∠B=90°，由折疊的性質得到∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC,根據全等三角形的性質得到∠APD=∠EPD,推出 于是得到結論；

(2)如圖2.過C作CG⊥AF交AF的延長線于G,推出四邊形ABCG是矩形，得到矩形ABCG是正方形，求得CG=CB，根據折疊的性質得到∠CEP=∠B=90°，BC=CE，∠BCP=∠ECP, 根據全等三角形的性質即可得到結論:

(3)如圖3，將△OQG沿OM翻折至△OPG,將△OQH沿ON翻折至△ORH,延長PG, RH交于S,推出四邊形PORS是正方形，根據勾股定理即可得到結論．

解：（1）如圖1，連結，

∵AD//BC. AB⊥BC,

∴∠A=∠B=90°

∵將△BPC沿PC翻折至△EPC,

∴∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC,

∴∠DEP=90°

∵當P為AB的中點，

∴AP=BP

∴PA=PE

∵PD=PD

∴，

∴

作于，設，則，

由勾股定理得，

解得，

∴

圖1

（2）如圖2，作交延長線于，易證四邊形為正方形

∵∠A=∠B=∠G=90°,

∴四邊形ABCG是矩形,

∵AB=BC,

∴矩形ABCG是正方形,

∴CG=CB.

∵將△BPC沿PC翻折至△EPC,

∴∠ FED=90°，CG=CE,

又∵CF=CF

∴，

∴∠ECF=∠GCF,

∴∠BCP+∠GCF=∠PCE+∠FCE=45°

∴∠PCF=45°;

圖2/p>

(3)如圖3.將△OQG沿OM翻折至OOPG.將△OQH沿ON翻折至△ORH.延長PG, RH交于S,則∠POG=∠QOG.∠ROH=∠QOH, OP=OQ=OR=8,PG=QG=x,QH=RH=y,

∴ ∠POR=2∠MON=90",

∵GH⊥OQ.

∴∠OQG=∠OQH=90° .

∴∠P=∠R=90° ,

∴四邊形PORS是正方形。

∴PS=RS=8,∠S=90°，

∴.GS=8-x,HS=8-y.

∴ .

∴

∴

圖3