Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，4a)，B(3a，0)，△AOB的面積是150．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是射線AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，連接PO，若△PBO的面積為S，試用含有t的式子表示S．

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，且S△PBO＝126，過P作PE⊥AB，交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，且OB＝OD，連接AE，M為AE上一點(diǎn)，連接OM交PE于點(diǎn)N，若∠EMN+∠ABE＝180°，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A(0，20)；（2）S＝|﹣10t+150|；（3）(﹣，)

【解析】

（1）由三角形的面積公式可求a的值，即可求點(diǎn)A坐標(biāo)；

（2）先求直線AB解析式，即可求點(diǎn)P坐標(biāo)，由三角形面積公式可求S與t的關(guān)系；

（3）先求出PD解析式，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，可得EO＝AO＝20，∠AEO＝45°＝∠EAO，由三角形內(nèi)角和定理和余角的性質(zhì)可求∠DNO＝∠FON＝45°，可得NF＝FO，由面積公式可求FO＝12，由兩點(diǎn)距離公式可求解．

解：（1）∵A（0，4a），B（3a，0），

∴AO＝4a，BO＝3a，a＞0，

∵△AOB的面積是150．

∴AO×BO＝150，

∴6a2＝150，

∴a＝5，（負(fù)值不合題意舍去），

∴點(diǎn) A（0，20）；

（2）∵a＝5，

∴A（0，20），B（15，0），

設(shè)直線AB解析式為：y＝kx+20，

∴0＝15k+20，

∴k＝﹣，

∴直線AB解析式為：y＝﹣x+20，

∵點(diǎn)P是射線AB上的一點(diǎn)，

∴點(diǎn)P（t，﹣t+20）

∵S＝S△POB＝×OB×|yP|

∴S＝×|﹣t+20|＝|﹣10t+150|，

（3）如圖1，過點(diǎn)O作OF⊥DE，

∵點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，且S△PBO＝126，

∴126＝﹣10t+150

∴t＝，

∴點(diǎn)P（，）

∵OB＝OD＝15，

∴點(diǎn)D（0，15）

設(shè)直線DP解析式為：y＝mx+15，

∴＝m+15

∴m＝，

∴直線PD解析式為：y＝x+15，

∴設(shè)點(diǎn)N（x，x+15）

∵直線PD交x軸于點(diǎn)E，

∴點(diǎn)E（﹣20，0），

∴EO＝AO＝20，

∴∠AEO＝45°＝∠EAO，

∵∠DAP+∠ADP＝90°，∠ABO+∠DAP＝90°，

∴∠ADP＝∠ABO＝∠NDO，

∵∠EMN+∠ABE＝180°，∠EMN+∠AMO＝180°，

∴∠AMO＝∠ABE＝∠NDO，

∵∠AMO+∠MAO+∠AOM＝180°，∠NDO+∠DON+∠DNO＝180°，

∴∠EAO＝∠DNO＝45°，且FO⊥DE，

∴∠DNO＝∠FON＝45°，

∴NF＝FO，

∴NO＝FO，

由勾股定理可得：DE＝＝＝25，

∵S△DEO＝DO×EO＝×DE×OF

∴OF＝12，

∴NO＝12

∴（x﹣0）2+（x+15﹣0）2＝288，

∴x1＝﹣，x2＝（舍去）

∴點(diǎn)N坐標(biāo)（﹣，）