Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點，點A在點B的左側．

（1）如圖1，當k=1時，直接寫出A，B兩點的坐標；

（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）如圖2，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點C、D兩點（點C在點D的左側），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)

（2）△ABP最大面積s=; P（,-）

（3）存在；k=

【解析】

試題（1） 當k=1時，拋物線解析式為y=x2﹣1，直線解析式為y=x+1，然后解方程組即可；

（2） 設P（x，x2﹣1）．過點P作PF∥y軸，交直線AB于點F，則F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，

，用含x的代數(shù)式表示為S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式確定頂點坐標即可．（3） 設直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點E、F，用k分別表示點E的坐標，點F的坐標，以及點C的坐標，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的長，假設存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，設點N為OC中點，連接NQ，根據(jù)條件證明△EQN∽△EOF，然后根據(jù)性質對應邊成比例，可得關于k的方程，解方程即可.

試題解析：解：（1）當k=1時，拋物線解析式為y=x2﹣1，直線解析式為y=x+1．

聯(lián)立兩個解析式，得：x2﹣1=x+1，

解得：x=﹣1或x=2，

當x=﹣1時，y=x+1=0；當x=2時，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）． 4分

（2）設P（x，x2﹣1）．

如答圖2所示，過點P作PF∥y軸，交直線AB于點F，則F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF

∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+

當x=時，yP=x2﹣1=﹣．

∴△ABP面積最大值為，此時點P坐標為（，﹣）． 8分

（3）設直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點E、F，

則E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

假設存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，如答圖3所示，

則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，根據(jù)圓周角定理，此時∠OQC=90°．

設點N為OC中點，連接NQ，則NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．

∴EN=OE﹣ON=﹣．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN∽△EOF，

∴，即：，

解得：k=±，

∵k＞0，

∴k=．

∴存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，此時k=． 12分