Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，BD和CD為⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為B和C．

（1）求證：AC∥OD；

（2）當(dāng)BC=BD，且BD=6cm時(shí)，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果不取近似值）．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)( 4π﹣3)cm2．

【解析】分析：（1）連接OC，證明∠OCD=90°．根據(jù)切線(xiàn)定理得DC=DB，OB⊥BD，OC⊥CD，證得△OCD≌△OBD，再結(jié)合AB為直徑，AC⊥BC，可得∠ACO=∠COM，從而得證；
（2）陰影面積=S扇形OBC-S△OBC．根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理知△BCD為等邊三角形，可求∠BOC的度數(shù)，運(yùn)用相關(guān)公式計(jì)算．

詳解：

（1）證明：連接OC．

∵BD和CD為⊙O的切線(xiàn)，

∴DC=DB，OB⊥BD，OC⊥CD，

又OB=OC，

∴△OCD≌△OBD，

∴∠COM=∠BOM，從而易得BC⊥OD，

∵AB為直徑，

∴AC⊥BC，

∴∠ACO+∠OCM=∠COM+∠OCM=90°，

∴∠ACO=∠COM，

∴AC∥OD.

（2）∵DB，DC為切線(xiàn)，B，C為切點(diǎn)，

∴DB=DC．

又∵DB=BC=6，∴△BCD為等邊三角形．

∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，

∠OBM=90°﹣60°=30°，BM=3．

∴OM=，OB=2．

∴S陰影部分=S扇形OBC﹣S△OBC＝