Question

利客來(lái)超市購(gòu)進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）（x≥30）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)利客來(lái)超市銷售該綠色食品每天獲得利潤(rùn)p元，當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？
（3）該超市經(jīng)理要求每天利潤(rùn)不得低于4180元，請(qǐng)你幫助該超市確定綠色食品銷售單價(jià)x的范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖象過(guò)點(diǎn)（30，400）和（40，200）利用待定系數(shù)法求直線解析式；
（2）每天利潤(rùn)=每千克的利潤(rùn)×銷售量．據(jù)此列出表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答；
（3）利用（2）的函數(shù)解析式即可得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）設(shè)y=kx+b，由圖象可知，

30k+b=400 40k+b=200

，
解之，得

k=-20 b=1000

，
∴y=-20x+1000（30≤x≤50，不寫自變量取值范圍不扣分）．

（2）p=（x-20）y
=（x-20）（-20x+1000）
=-20x²+1400x-20000．
∵a=-20＜0，
∴p有最大值．
當(dāng)x=-

1400

2×(-20)

=35時(shí)，p_最大值=4500．
即當(dāng)銷售單價(jià)為35元/千克時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)4500元．

（3）當(dāng)P=4180時(shí)，4180=-20x²+1400x-20000，
解得 x₁=31，x₂=39，
∵圖象開口向下，x=35時(shí)，p有最大值4500，
∴綠色食品銷售單價(jià)為31≤x≤39的范圍時(shí)符合要求．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及求二次函數(shù)最值等知識(shí)，畫出函數(shù)圖象結(jié)合圖形解答不等式的有關(guān)問(wèn)題是目前解一元二次不等式的實(shí)用途徑，也是解某些有限制條件的最值問(wèn)題的有效方法，具有直觀性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．