Question

【題目】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E的位置隨著點P的位置變化而變化.

(1)探索發(fā)現(xiàn)

如圖1，當點E在菱形ABCD內(nèi)部時，連接CE，BP與CE的數(shù)量關系是_______，CE與AD的位置關系是_______.

(2)歸納證明

證明2，當點E在菱形ABCD外部時，(1)中的結論是否還成立?若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展應用

如圖3，當點P在線段BD的延長線上時，連接BE，若AB=5，BE=13，請直接寫出線段DP的長.

Answer 1

【答案】(1)BP=CE，CE⊥AD；(2)(1)中的結論仍成立.理由見解析； (3)PD= ．

【解析】

（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可證△ABC與△ACD是等邊三角形，由等邊△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，減去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根據(jù)SAS可證得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形對角線平分一組對角可證∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三線合一可得CE⊥AD．
（2）證明過程同（1）．
（3）由AB=5即△ABC為等邊三角形可求得BD的長．連接CE，由（2）可求∠BCE=90°，故在Rt△BCE中，由勾股定理可求CE的長．又由（2）可得BP=CE，由DP=BP-BD即求得DP的長．

解：(1) ∵菱形ABCD中，∠ABC=60°
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD是等邊三角形
∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°
∵△APE是等邊三角形
∴AP=AE，∠PAE=60°
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC
即∠BAP=∠CAE
在△BAP與△CAE中

∴△BAP≌△CAE（SAS）
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE
∵BD平分∠ABC
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°
∴CE平分∠ACD
∴CE⊥AD
故答案為：BP=CE，CE⊥AD；

(2)(1)中的結論仍成立，證明如下：

設AD與CE交于點O

∵四邊形ABCD為菱形，且∠ABC=60°

∴△ABC為等邊三角形.

∴AB=AC，∠BAC=60°

∴∠BAP=∠CAE

又∵ΔAPE為等邊三角形

∴AP=AE

在△BAP與△CAE中

∴△BAP≌ΔCAE(SAS)

∴BP=CE

∴∠ACE=∠ABP=30°

又∵∠CAD=60°

∠A0C=90°

∴AD⊥CE；

(3) 連接CE，設AC與BD相交于點O

∵AB=5
∴BC=AC=AB=5
∴AO=AC=

∴BO= ＝＝
∴BD=2BO=5
∵∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，BE=13
∴CE= ＝=12
由（2）可知，BP=CE=12
∴DP=BP-BD=12-5

故答案為：(1)BP=CE，CE⊥AD；(2)(1)中的結論仍成立.理由見解析； (3)PD= ．