Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點，為拋物線上一點，且橫縱坐標相等(原點除外)，為拋物線上一動點，過作軸的垂線，垂足為，并與直線交于點.

(1)求、兩點的坐標.

(2)當點在線段上方時，過作軸的平行線與直線相交于點，求周長的最大值及此時點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)點坐標為，點的坐標為；(2)周長的最大值為，點坐標為.

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）設點的坐標為，則,Q點的坐標為（n，0），軸,得出是等腰直角三角形，進而得出當取最大值時，周長最大， PC即可用含a的代數式表示出來，利用二次函數的性質即可解決最值問題

解：(1)令，則，

解得，，

∴點坐標為，

設點坐標為，把代入得，

，

解得，(舍去)，

∴點的坐標為；

(2)如圖，設點的坐標為，

∵點坐標為，

∴，

∴，

∴.

∵軸，

∴是等腰直角三角形，

∴當取最大值時，周長最大.

∵與線段相交，

∴.

由可知，拋物線的對稱軸為直線，在對稱軸左側隨的增大而增大.

∴當時，最大，的最大值為

∴，，

∴的周長為.

∴周長的最大值為，

把代入的坐標，得

∴點坐標為.