Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，點在點的左側(cè)，拋物線的頂點為，規(guī)定：拋物線與軸圍成的封閉區(qū)域稱為“區(qū)域”(不包含邊界)．

(1)如果該拋物線經(jīng)過(1，3)，求的值，并指出此時“區(qū)域”有_____個整數(shù)點；(整數(shù)點就是橫縱坐標均為整數(shù)的點)

(2)求拋物線的頂點的坐標(用含的代數(shù)式表示)；

(3)在(2)的條件下，如果區(qū)域中僅有4個整數(shù)點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)6；(2)頂點的坐標為；(3)或．

【解析】

（1）將點(1，3)代入拋物線解析式中，即可求出值，再分別計算當時，對應(yīng)的函數(shù)值，進而可得在“區(qū)域”內(nèi)整數(shù)點的坐標，由此可得結(jié)論；

（2）利用配方法將拋物線的解析式變形為頂點式，由此即可得出頂點的坐標；

（3）分及兩種情況考慮，依照題意畫出圖形，結(jié)合圖形得出關(guān)于的不等式組，解之即可得出結(jié)論．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過(1，3)，∴，解得：．

當時，，，∴點，點．

當時，，∴(0，1)、(0，2)兩個整數(shù)點在“區(qū)域”；

當時，，∴(1，1)、(1，2)兩個整數(shù)點在“區(qū)域”；

當時，，∴(2，1)、(2，2)兩個整數(shù)點在“區(qū)域”．

綜上所述：此時“區(qū)域”有6個整數(shù)點．

故答案為：6．

（2）∵，∴頂點的坐標為．

（3）當時，，∴拋物線與軸的交點坐標為．

當時，如圖1所示，此時有，解得：；

當時，如圖2所示，此時有，解得：．

綜上所述：在（2）的條件下，如果區(qū)域中僅有4個整數(shù)點時，則的取值范圍為或．