Question

【題目】如圖所示，拋物線的圖象過，，三點，頂點為．

(1)求拋物線的解析式；

(2)設點在軸上，且，求的長；

(3)若軸且在拋物線上，過作于，在直線上運動，點在軸上運動，是否存在這樣的點、使以、、為頂點的三角形與相似?若存在，請求出點、的坐標．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或5； (3)存在三組點：①或②或③．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

（2）根據AO=CO=3得到∠OGB+∠OAB=45°，過作交延長線于，證得△BHG是等腰直角三角形，，再證明求出， ，即可求出AG；

（3）根據點A、P、D的坐標得到△PAD為等腰直角三角形，分∠AMN、∠ANM、∠MAN是直角，夾直角的兩邊相等，分別求出點M、N的坐標即可.

(1)由可另設解析式為.

把代入，得，

，

；

(2)，

.

過作交延長線于.

是等腰直角三角形，.

又，

.

.

又，

，

同理，當點G在y軸正半軸時，可得AG＝1，

或5；

(3)由題意得：頂點.

為等腰直角三角形.

∴只要也是等腰直角三角形，兩個三角形就相似.

①如圖1所示，，

可得.

.

；

②如圖2所示，，

可得.

，

；

③如圖3所示，，

可得.

，

；

④如圖4所示，若，

則，但，

∴不存在，

綜上，存在三組點：①或②或③.