【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(1,0)、C(﹣2,3)兩點,與y軸交于點N,其頂點為D.
(1)求拋物線及直線AC的函數關系式;
(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點,求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)在對稱軸上是否存在一點M,使△ANM的周長最。舸嬖冢埱蟪M點的坐標和△ANM周長的最小值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;y=﹣x+1;(2)當x=﹣時,△APC的面積取最大值,最大值為,此時點P的坐標為(﹣,);(3)在對稱軸上存在一點M(﹣1,2),使△ANM的周長最小,△ANM周長的最小值為3.
【解析】
(1)根據點A,C的坐標,利用待定系數法即可求出拋物線及直線AC的函數關系式;(2)過點P作PE∥y軸交x軸于點E,交直線AC于點F,過點C作CQ∥y軸交x軸于點Q,設點P的坐標為(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),則點E的坐標為(x,0),點F的坐標為(x,﹣x+1),進而可得出PF的值,由點C的坐標可得出點Q的坐標,進而可得出AQ的值,利用三角形的面積公式可得出S△APC=﹣x2﹣x+3,再利用二次函數的性質,即可解決最值問題;(3)利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點N的坐標,利用配方法可找出拋物線的對稱軸,由點C,N的坐標可得出點C,N關于拋物線的對稱軸對稱,令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M,則此時△ANM周長取最小值,再利用一次函數圖象上點的坐標特征求出點M的坐標,以及利用兩點間的距離公式結合三角形的周長公式求出△ANM周長的最小值即可得出結論.
(1)將A(1,0),C(﹣2,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,解得:,
∴拋物線的函數關系式為y=﹣x2﹣2x+3;
設直線AC的函數關系式為y=mx+n(m≠0),
將A(1,0),C(﹣2,3)代入y=mx+n,得:
,解得:,
∴直線AC的函數關系式為y=﹣x+1.
(2)過點P作PE∥y軸交x軸于點E,交直線AC于點F,過點C作CQ∥y軸交x軸于點Q,如圖1所示.
設點P的坐標為(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),則點E的坐標為(x,0),點F的坐標為(x,﹣x+1),
∴PE=﹣x2﹣2x+3,EF=﹣x+1,EF=PE﹣EF=﹣x2﹣2x+3﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x+2.
∵點C的坐標為(﹣2,3),
∴點Q的坐標為(﹣2,0),
∴AQ=1﹣(﹣2)=3,
∴S△APC=AQPF=﹣x2﹣x+3=﹣(x+)2+ .
∵﹣<0,
∴當x=﹣時,△APC的面積取最大值,最大值為,此時點P的坐標為(﹣, ).
(3)當x=0時,y=﹣x2﹣2x+3=3,
∴點N的坐標為(0,3).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1.
∵點C的坐標為(﹣2,3),
∴點C,N關于拋物線的對稱軸對稱.
令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M,如圖2所示.
∵點C,N關于拋物線的對稱軸對稱,
∴MN=CM,
∴AM+MN=AM+MC=AC,
∴此時△ANM周長取最小值.
當x=﹣1時,y=﹣x+1=2,
∴此時點M的坐標為(﹣1,2).
∵點A的坐標為(1,0),點C的坐標為(﹣2,3),點N的坐標為(0,3),
∴AC= =3,AN= =,
∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=3+.
∴在對稱軸上存在一點M(﹣1,2),使△ANM的周最小,△ANM周長的最小值為3+.
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【題目】如圖,在每個小正方形的邊長為1的網格中,點A,B,C,D都在格點上.
(Ⅰ)AC的長為 ;
(Ⅱ)將矩形ABCD繞點A順時針旋轉得矩形AEFG,其中,點C的對應點F落在格線AD的延長線上,請用無刻度的直尺在網格中畫出矩形AEFG,并簡要說明點E,G的位置是如何找到的. .
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【題目】已知拋物線經過點A(-2,-8).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)判斷點B(-1,-4)是否在此拋物線上;
(3)求此拋物線上縱坐標為-6的點的坐標.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D,與CA的延長線相交于點E,過點D作DF⊥AC于點F.
(1)試說明DF是⊙O的切線;
(2)若AC=3AE,求tanC.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙O的上,點E在⊙O的外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度數;
(2)求證:AE是⊙O的切線.
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【題目】如圖,將矩形ABCO放在直角坐標系中,其中頂點B的坐標為(10, 8),E是BC邊上一點將△ABE沿AE折疊,點B剛好與OC邊上點D重合,過點E的反比例函數y=的圖象與邊AB交于點F, 則線段AF的長為( )
A. B. 2 C. D.
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【題目】小紅家的陽臺上放置了一個曬衣架如圖①.圖②是曬衣架的側面示意圖,立桿AB,CD相交于點O,B,D兩點立于地面.經測量:AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm,OE=OF=34 cm,現將曬衣架完全穩(wěn)固張開,扣鏈EF成一條線段,且EF=32 cm.垂掛在衣架上的連衣裙總長度小于________cm時,連衣裙才不會拖落到地面上.
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【題目】如圖,一垂直于地面的燈柱AB被一鋼筋CD固定,CD與地面成45°夾角(∠CDB=45°),在C點上方2米處加固另一條鋼線ED,ED與地面成53°夾角(∠EDB=53°),那么鋼線ED的長度約為多少米?(結果精確到1米,參考數據:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
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【題目】已知:如圖,⊙O與⊙P相交于A、B兩點,點P在⊙O上,⊙O的弦AC切⊙P于點A,CP及其延長線交⊙P于D、E,過點E作EF⊥CE交CB的延長線于F.
(1)求證:BC是⊙P的切線;
(2)若CD=2,CB=2,求EF的長.
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