Question

【題目】如圖1，拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上第二象限內(nèi)一點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的周長(zhǎng)為.

①求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；

②求的周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，連接，是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)為y= -x2-x+4；一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+4；（2）①關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，②的周長(zhǎng)的最大值為 ，此時(shí)點(diǎn)P；（3）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 或.

【解析】

（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)或直線(xiàn)表達(dá)式，即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，-t2-t+4），令-t2-t+4=x+4，解得：x= ，PD= ，利用△PDM∽△CBO，即可求解；
（3）分∠PCM=∠CBO、∠PCM=∠BCO，兩種情況求解即可．

解：（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入拋物線(xiàn)，

得，解得，∴拋物線(xiàn)為；

令，，解得或，

∴，

把，代入一次函數(shù)，

得，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）由題意，，，

∴，周長(zhǎng)為12，

∵，，

令，解得，

∴，

∵軸，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)的最大值為，

此時(shí)點(diǎn)；

（3）存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或.

①如圖1，當(dāng)時(shí)，

即，此時(shí)，

令，

解得（舍去）或；

②如圖2，當(dāng)時(shí)，

即，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，作軸于.

易得，，得，，

∴點(diǎn)，

可得直線(xiàn)的表達(dá)式為，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

故答案為：（1）拋物線(xiàn)為y= -x2-x+4；一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+4；（2）①關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，②的周長(zhǎng)的最大值為 ，此時(shí)點(diǎn)P；（3）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 或.