Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AD＝8，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，則（1）FM＝_____；（2）tan∠MDE＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）如圖，過(guò)E作EP⊥AP，EQ⊥AD，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠EAQ=∠EAP=45°，推出四邊形APEQ是正方形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=EF，DQ=FP，且AP=EP，設(shè)EP=x，則DQ=8-x=FP=x-4，根據(jù)勾股定理得到AE=，DE=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=2，過(guò)G作GH⊥AB，過(guò)M作MK⊥AB，過(guò)M作ML⊥AD，根據(jù)勾股定理得到結(jié)論；

（2）推出DM在正方形對(duì)角線(xiàn)DB上，過(guò)M作MK⊥AB，過(guò)N作NI⊥AB，則BK=MK=，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到，求得FI=4-y=1，于是得到結(jié)論．

（1）如圖，過(guò)E作EP⊥AP，EQ⊥AD，

∵四邊形APEQ是正方形，

∴DC∥AB，

∴△DGC∽△FGA，

∴=2，

∵AC=8，DF=4

∴CG=，

∴EG==，

AG=AC=，

過(guò)G作GH⊥AB，過(guò)M作MK⊥AB，過(guò)M作ML⊥AD，

則易證△GHF≌△FKM全等，

∴GH=FK=，HF=MK=，

∴FM=；

∵ML=AK=AF+FK=4+=，DL=AD-MK=8-=，

即DL=LM，

∴∠LDM=45°

∴DM在正方形對(duì)角線(xiàn)DB上，

過(guò)N作NI⊥AB，則NI=IB，

設(shè)NI=y，

∵NI∥EP

∴，

∴，

解得y=3，

所以FI=4-y=1，

∴I為FP的中點(diǎn)，

∴N是EF的中點(diǎn)，

∴EN=EF=，

∵DF=4，

∴DE=2，

∴tan∠MDE=，

故答案為：，．