Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點F．點E在⊙O外，做直線AE，且∠EAC=∠D．

（1）求證：直線AE是⊙O的切線．

（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由直徑所對的圓周角是直角得：∠ADB=90°，則∠ADC+∠CDB=90°，所以∠EAC+∠BAC=90°，則直線AE是⊙O的切線；

（2）分別計算AC和BD的長，證明△DFB∽△AFC，列比例式得：，得出結論．

試題解析：（1）連接BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直線AE是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC==，Rt△ADB中，cos∠BAD==，∴=，∴AD=6，∴BD= =，∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，∴△DFB∽△AFC，∴，∴，∴BF=．