Question

拋物線y=ax²+bx+c經過直角△ABC的頂點A（-1，0），B（4，0），直角頂點C在y軸上，若拋物線的頂點在△ABC的內部（不包括邊界），則a的范圍是

-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．

Answer 1

分析：根據點A、B的坐標求出OA、OB的長，再求出△ACO和△CBO相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OC的長，再根據二次函數的對稱性求出對稱軸，設對稱軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q，利用∠ABC的正切值求出點P到x軸的距離PQ，設拋物線的交點式解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-4），整理求出頂點坐標，再根據拋物線的頂點在△ABC的內部分兩種情況列式求出a的取值范圍即可．

解答：解：∵點A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
易得△ACO∽△CBO，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
即

1

OC

=

OC

4

，
解得OC=2，
∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0），B（4，0），
∴對稱軸為直線x=

-1+4

2

=

3

2

，
設對稱軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q，
則BQ=4-

3

2

=2.5，
tan∠ABC=

OC

OB

=

PQ

BQ

，
即

2

4

=

PQ

2.5

，
解得PQ=

5

4

，
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），
則y=a（x²-3x-4）=a（x-

3

2

）²-

25

4

a，
當點C在y軸正半軸時，0＜-

25

4

a＜

5

4

，
解得-

1

5

＜a＜0，
當點C在y軸負半軸時，-

5

4

＜-

25

4

a＜0，
解得0＜a＜

1

5

，
所以，a的取值范圍是-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．
故答案為：-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．

點評：本題考查了二次函數的性質，相似三角形的判定與性質，把二次函數的解析式用交點式形式表示更加簡便，注意要分點C在y正半軸和負半軸兩種情況討論．