Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣b（a＞0）與x軸的一個交點為B（﹣1，0），與y軸的負(fù)半軸交于點C，頂點為D．

（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點A的坐標(biāo)；
（2）以AD為直徑的圓經(jīng)過點C．
①求拋物線的解析式；
②點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，且以B，A，F(xiàn)，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對稱軸是直線：x=1，

點A的坐標(biāo)是（3，0）

（2）

解：①如圖，連接AC、AD，過D作DM⊥y軸于點M，

解法一：利用△AOC∽△CMD，

在y=ax2﹣2ax﹣b（a＞0）中，當(dāng)x=1時，y=﹣a﹣b，則D的坐標(biāo)是（1，﹣a﹣b）．

∵點A、D、C的坐標(biāo)分別是A（3，0），D（1，﹣a﹣b）、

C（0，﹣b），

∴AO=3，MD=1．

由 ，

得 ，

∴3﹣ab=0．

又∵0=a（﹣1）2﹣2a（﹣1）﹣b，

∴由 ，

得 ，

∴函數(shù)解析式為：y=x2﹣2x﹣3．

解法二：利用以AD為直徑的圓經(jīng)過點C，

∵點A、D的坐標(biāo)分別是A（3，0）、D（1，﹣a﹣b）、C（0，﹣b），

∴AC= ，CD= ，AD=

∵AC2+CD2=AD2

∴3﹣ab=0①

又∵0=a（﹣1）2﹣2a（﹣1）﹣b②

由①、②得a=1，b=3

∴函數(shù)解析式為：y=x2﹣2x﹣3．

②F點存在．

如圖所示，當(dāng)四邊形BAFE為平行四邊形時

則BA∥EF，并且BA=EF．

∵BA=4，

∴EF=4

由于對稱軸為x=1，

∴點F的橫坐標(biāo)為5．

將x=5代入y=x2﹣2x﹣3得y=12，∴F（5，12）．

根據(jù)拋物線的對稱性可知，在對稱軸的左側(cè)拋物線上也存在點F，

使得四邊形BAEF是平行四邊形，此時點F坐標(biāo)為（﹣3，12）．

當(dāng)四邊形BEAF是平行四邊形時，點F即為點D，

此時點F的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

綜上所述，點F的坐標(biāo)為（5，12），（﹣3，12）或（1，﹣4）．

【解析】（1）已知拋物線解析式和點B的坐標(biāo)求出a值，利用對稱軸x=﹣ 求出對稱軸以及點A的坐標(biāo)．（2）①本題要靠輔助線的幫助．連接AC，AD，過DM⊥y軸于點M．證明△AOC∽△CMD后可推出a，b的值．②證明四邊形BAFE為平行四邊形，求出BA，EF得出點F的坐標(biāo)．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�